Matriser och matrisoperationer

Efter den här lektionen kommer du att behärska grundläggande matrisalgebra, inklusive addition, skalärmultiplikation, matrismultiplikation, transponering och användning av enhetsmatrisen.

Vad är en matris och dess dimensioner?

En matris är en rektangulär tabell med tal ordnade i rader och kolumner. Matriser används inom linjär algebra för att representera linjära ekvationssystem, geometriska transformationer och datastrukturer.

En matris betecknas ofta med en stor bokstav, till exempel A. Antalet rader (m) och antalet kolumner (n) anger matrisens dimension, vilket skrivs som m × n (läses 'm gånger n').

• Om m = n kallas matrisen för en kvadratisk matris.
• Ett enskilt tal i matrisen kallas ett element och betecknas a_(ij), där i står för radnumret och j för kolumnnumret.

Exempel:

Anta att vi har matrisen A av dimension 2 × 3:

A = [1, 5, -2;

4, 0, 3]

Här är a_(11) = 1, a_(12) = 5 och a_(23) = 3. Eftersom matrisen har 2 rader och 3 kolumner är dess dimension 2 × 3.

Att ha kolla på dimensionerna är helt avgörande, eftersom alla matrisoperationer har strikta regler kring vilka dimensioner som krävs för att operationen ska vara tillåten.

Matrisaddition och skalärmultiplikation

De två enklaste operationerna på matriser är addition och skalärmultiplikation.

Matrisaddition

Två matriser A och B kan adderas endast om de har exakt samma dimension. Additionen sker elementvis genom att man adderar motsvarande element på samma position:

Om A = [1, 3; 2, 4] och B = [5, 0; -1, 2], så blir:

A + B = [1+5, 3+0; 2+(-1), 4+2] = [6, 3; 1, 6]

Subtraktion fungerar på exakt samma sätt, fast med minustecken.

Skalärmultiplikation

Att multiplicera en matris med ett enskilt tal (en så kallad skalär k) innebär att varje enskilt element i matrisen multipliceras med k:

Om k = 3 och A = [1, -2; 0, 4], så blir:

3 · A = [3·1, 3·(-2); 3·0, 3·4] = [3, -6; 0, 12]

Egenskaper

Addition av matriser uppfyller samma grundläggande lagar som vanliga tal:

• Kommutativ lag: A + B = B + A
• Associativ lag: (A + B) + C = A + (B + C)

Matrismultiplikation: Rad mot kolumn

Matrismultiplikation skiljer sig från elementvis multiplikation och har en specifik mekanik.

Dimensionskrav

För att produkten A · B ska vara definierad måste antalet kolumner i A vara lika med antalet rader i B.

• Om A har dimension m × k och B har dimension k × n, har produktmatrisen C = A · B dimensionen m × n.
• Det inre måttet k måste överensstämma, och det yttre måttet m × n ger resultatets dimension.

Hur beräknas elementen?

Elementet c_(ij) på rad i och kolumn j i resultatmatrisen fås genom att ta skalärprodukten av rad i i matris A och kolumn j i matris B:

c_(ij) = (rad i i A) · (kolumn j i B)

Exempel:

Låt A = [1, 2; 3, 4] (2 × 2) och B = [5, 6; 7, 8] (2 × 2).

• c_(11) = (1·5) + (2·7) = 5 + 14 = 19
• c_(12) = (1·6) + (2·8) = 6 + 16 = 22
• c_(21) = (3·5) + (4·7) = 15 + 28 = 43
• c_(22) = (3·6) + (4·8) = 18 + 32 = 50

Resultatet A · B är alltså [19, 22; 43, 50].

Enhetsmatrisen och Transponat

Två mycket viktiga begrepp inom matrisalgebra är enhetsmatrisen och transponering.

Enhetsmatrisen (I)

Enhetsmatrisen, betecknad I (eller Iₙ), är en kvadratisk matris där alla element på huvuddiagonalen (från övre vänstra till nedre högra hörnet) är 1:or och alla andra element är 0:or.

Exempelvis är 2 × 2-enhetsmatrisen:

I = [1, 0; 0, 1]

Enhetsmatrisen fungerar som talet 1 vid multiplikation. För varje matris A gäller:

A · I = A och I · A = A

Transponat (Aᵀ)

Att transponera en matris innebär att man byter plats på rader och kolumner. Transponatet av matrisen A betecknas Aᵀ.

• Rad 1 i A blir kolumn 1 i Aᵀ.
• Om A har dimension m × n, har Aᵀ dimension n × m.
• Elementet på plats (i, j) i A hamnar på plats (j, i) i Aᵀ.

Exempel:

Om A = [1, 2, 3; 4, 5, 6] (2 × 3), blir transponatet:

Aᵀ = [1, 4;

2, 5;

3, 6] (3 × 2)

Transponeringsregler

1. (Aᵀ)ᵀ = A

2. (A + B)ᵀ = Aᵀ + Bᵀ

3. (A · B)ᵀ = Bᵀ · Aᵀ *(Observera att ordningen kastas om!)*