Inversa matriser och matrisekvationer

Efter den här lektionen kommer du att förstå vad en matrisinvers är, kunna beräkna inverser för 2x2-matriser och större matriser, samt använda inverser för att lösa matrisekvationer.

Vad är en matrisinvers?

Inom vanlig aritmetik vet vi att varje nollskilt tal a har en multiplikativ invers 1/a = a⁻¹, så att a × a⁻¹ = 1. Inom linjär algebra finns ett helt motsvarande begrepp för matriser.

Om vi har en kvadratisk matris A av storlek n × n, söker vi en matris A⁻¹ av samma storlek så att:

A × A⁻¹ = I och A⁻¹ × A = I

där I är identitetsmatrisen av storlek n × n. Identitetsmatrisen har ettor på huvuddiagonalen och nollor överallt annars, och fungerar som matrisräkningens "etta".

En matris A som har en invers kallas inverterbar (eller icke-singulär). Om en matris saknar invers kallas den singulär.

Det är mycket viktigt att komma ihåg att inte alla kvadratiska matriser har en invers. Ett nödvändigt och tillräckligt villkor för att matrisen A ska vara inverterbar är att dess determinant är skild från noll: det(A) ≠ 0. Om det(A) = 0 pressar matrisen ihop rummet till en lägre dimension, vilket innebär att information går förlorad och avbildningen inte kan återställas.

Inversen till en 2x2-matris

För en 2x2-matris finns en smidig direktformel för att beräkna inversen. Låt A vara matrisen:

A = [[a, b], [c, d]]

Först beräknar vi determinanten: det(A) = ad − bc.

Om det(A) ≠ 0 ges inversen av:

A⁻¹ = (1 / (ad − bc)) × [[d, -b], [-c, a]]

Lägg märke till vad som händer med elementen i matrisen:

1. Elementen på huvuddiagonalen (a och d) byter plats.

2. De övriga elementen (b och c) byter tecken (blir -b och -c).

3. Hela matrisen multipliceras med skalären 1 / det(A).

Exempel:

Låt A = [[4, 7], [2, 4]].

Determinanten är det(A) = 4×4 − 7×2 = 16 − 14 = 2.

Inversen blir därför:

A⁻¹ = (1/2) × [[4, -7], [-2, 4]] = [[2, -3.5], [-1, 2]]

Vi kan kontrollera svaret genom multiplikation: A × A⁻¹ = [[4, 7], [2, 4]] × [[2, -3.5], [-1, 2]] = [[1, 0], [0, 1]] = I.

Gauss-Jordan-eliminering för större matriser

För matriser av storlek 3x3 eller större blir direktformler extremt krångliga. Den mest generella och systematiska metoden är Gauss-Jordan-eliminering på en utökad matris.

Metoden utförs i tre steg:

1. Ställ upp den utökade matrisen [A | I], där I är identitetsmatrisen av samma storlek som A.

2. Tillämpa radoperationer (skala rader, addera/subtrahera rader, byta rader) för att omvandla vänstersidan (A) till identitetsmatrisen I.

3. När vänstersidan har blivit I, har högersidan automatiskt förvandlats till A⁻¹, så att matrisen har formen [I | A⁻¹].

Om du under radoperationerna får en hel rad med enbart nollor på vänstersidan innebär det att determinanten är noll och matrisen saknar invers.

Denna metod fungerar för matriser av alla storlekar och är den algoritmiska grunden för hur datorer beräknar matrisinverser.

Matrisekvationer och räkneregler

Eftersom matrisdivision inte existerar använder vi matrisinverser för att lösa matrisekvationer, på samma sätt som vi använder division i vanlig algebra.

Men eftersom matrismultiplikation INTE är kommutativ (i allmänhet gäller AB ≠ BA) måste vi vara extremt noggranna med från vilken sida vi multiplicerar!

Lösa ekvationen A × X = B (där A och B är kända och X sökas):

1. Vänstermultiplicera båda sidor med A⁻¹:

A⁻¹ × (A × X) = A⁻¹ × B

2. Använd associativa lagen:

(A⁻¹ × A) × X = A⁻¹ × B

3. Eftersom A⁻¹ × A = I får vi:

I × X = A⁻¹ × B => X = A⁻¹ × B

Om ekvationen istället hade varit X × A = B måste vi högermultiplicera med A⁻¹:

(X × A) × A⁻¹ = B × A⁻¹ => X × I = B × A⁻¹ => X = B × A⁻¹

Viktiga räkneregler för inverser:

• (A⁻¹)⁻¹ = A
• (A × B)⁻¹ = B⁻¹ × A⁻¹ (Observera att ordningen kastas om!)
• (Aᵀ)⁻¹ = (A⁻¹)ᵀ
• (k × A)⁻¹ = (1/k) × A⁻¹ för skalärer k ≠ 0.