Linjära ekvationssystem och Gausseliminering

Efter denna lektion kommer du att kunna ställa upp linjära ekvationssystem som totalmatriser, utföra systematiska radoperationer med Gausseliminering och tolka lösningsmängder med unika lösningar, fria variabler eller motsägelser.

Från ekvationssystem till totalmatris

Ett linjärt ekvationssystem består av en eller flera linjära ekvationer med en eller flera obekanta variabler. När vi arbetar med flera variabler är det ineffektivt att skriva ut variabelnamnen (som x, y, z) i varje steg. Därför strukturerar vi systemet i matrisform.

Betrakta ekvationssystemet:

2x + 3y = 7

4x - y = 0

Detta system kan skrivas som en matrissekvation A · x = b, där A är koefficientmatrisen och b är högerledsvektorn:

A = [[2, 3], [4, -1]]

x = [x, y]

b = [7, 0]

För att utföra beräkningar sätter vi ihop koefficientmatrisen A och högerledet b till en totalmatris (även kallad utökad matris eller augmented matrix). Vi avskiljer högerledet med ett vertikalt streck:

[ 2 3 | 7 ]

[ 4 -1 | 0 ]

I totalmatrisen motsvarar varje rad en ekvation och varje kolumn (till vänster om strecket) en variabel. Den sista kolumnen till höger om strecket innehåller konstanttermerna från ekvationernas högerled. Fördelen med totalmatrisen är att vi kan manipulera hela systemet genom enkla operationer direkt på matrisens rader utan att behöva släpa med variablerna x och y.

De tre elementära radoperationerna

Målet när vi löser ett matrisbaserat ekvationssystem är att förenkla matrisen utan att ändra systemets faktiska lösningar. Två ekvationssystem kallas ekvivalenta om de har exakt samma lösningsmängd.

För att bevara ekvivalensen får vi endast använda tre så kallade elementära radoperationer:

1. Radbyte (R_i ↔ R_j): Byta plats på två rader. Detta motsvarar att bara ändra ordningen på ekvationerna i systemet.

2. Skalning (k · R_i → R_i): Multiplicera (eller dividera) en rad med ett tal k som inte är noll (k ≠ 0). Detta motsvarar att multiplicera hela ekvationen med en konstant.

3. Radaddition (R_i + k · R_j → R_i): Addera ett flerfaldigt värde (k gånger) av en rad till en annan rad. Detta motsvarar att addera en ekvation till en annan för att eliminera en variabel.

Genom att använda dessa tre operationer systematiskt kan vi nollställa element nedanför huvuddiagonalen och på så sätt isolera variablerna en i taget.

Trappstegsform och Gausseliminering

Processen att omvandla en totalmatris till en förenklad form med hjälp av radoperationer kallas Gausseliminering. Slutmålet för elimineringsfasen är att nå trappstegsform (Row Echelon Form, REF).

En matris är på trappstegsform när följande villkor är uppfyllda:

• Alla rader som helt består av nollor ligger längst ner i matrisen.
• Det första elementet som inte är noll i en rad (kallas pivotelement eller ledande element) står strikt till höger om pivotelementet i raden ovanför.
• Alla element i en kolumn nedanför ett pivotelement är nollor.

Exempel på en matris på trappstegsform:

[ 2 4 1 | 8 ]

[ 0 1 -3 | 2 ]

[ 0 0 5 | 15 ]

När matrisen är på trappstegsform kan vi enkelt lösa ut variablerna nerifrån och upp genom så kallad bakåtsubstitution:

1. Tredje raden ger 5z = 15 ⇒ z = 3.

2. Andra raden ger 1y - 3z = 2 ⇒ y - 3(3) = 2 ⇒ y = 11.

3. Första raden ger 2x + 4y + 1z = 8 ⇒ 2x + 4(11) + 1(3) = 8 ⇒ 2x = -39 ⇒ x = -19.5.

Fria variabler och systemets lösningstyper

Ett linjärt ekvationssystem kan ha exakt en av följande tre typer av lösningar:

1. Unik lösning: Varje variabelkolumn innehåller ett pivotelement. Systemet beskriver geometriskt punkter som skär varandra i en enda punkt.

2. Oändligt många lösningar: Det finns minst en variabelkolumn som saknar pivotelement. Dessa variabler kallas fria variabler och kan tilldelas vilket reellt värde som helst (t.ex. t). Övriga variabler uttrycks i parameterform med hjälp av de fria variablerna.

3. Ingen lösning (inkonsistent system): Det uppstår en rad på formen [0 0 ... 0 | c] där c ≠ 0. Detta motsvarar ekvationen 0 = c, vilket är en motsägelse. Geometriskt innebär det att linjerna eller planen aldrig skär varandra i en gemensam punkt.

Antalet fria variabler i ett konsistent system beräknas som:

(Antal variabler) - (Antal pivotelement).