Linjära avbildningar och avbildningsmatriser

Efter denna lektion kommer du att förstå vad en linjär avbildning är, hur den representeras av en avbildningsmatris, samt hur kärna, bild och dimensionssatsen hänger ihop.

Vad är en linjär avbildning?

En linjär avbildning (eller linjär funktion) T från ett vektorrum V till ett vektorrum W är en regel som ordnar varje vektor u i V en entydig vektor T(u) i W.

För att en avbildning T ska kallas linjär måste den uppfylla två grundläggande villkor för alla vektorer u, v och alla skalärer c:

1. Additivitet: T(u + v) = T(u) + T(v)

2. Homogenitet: T(c × u) = c × T(u)

Geometriskt innebär linjäritet att origo alltid avbildas på origo (T(0) = 0) och att räta linjer förblir räta linjer (eller punktavbildas). Parallella linjer förblir också parallella eller sammanfallande.

Om en avbildning innehåller konstanter som läggs till (t.ex. f(x) = x + 1) eller potenser/produkter av variabler (t.ex. f(x) = x²), är den inte linjär i linjäralgebrans mening.

Standardmatrisen för en linjär avbildning

Varje linjär avbildning T: Rⁿ → Rᵐ kan uttryckas helt och hållet med hjälp av en matris A av storlek m × n. Avbildningen kan då skrivas som en matris-vektormultiplikation:

T(x) = A × x

Matrisen A kallas för avbildningens standardmatris.

För att hitta matrisen A undersöker vi vad avbildningen gör med de standardiserade basvektorerna e₁, e₂, ..., eₙ i Rⁿ.

I R² är basvektorerna e₁ = (1, 0) och e₂ = (0, 1).

Kolumnerna i matrisen A bildas helt enkelt av bilderna av dessa basvektorer:

A = [ T(e₁) T(e₂) ... T(eₙ) ]

Exempel: Om en avbildning T: R² → R² roterar alla vektorer 90 grader motsols:

• e₁ = (1, 0) roteras till (0, 1)
• e₂ = (0, 1) roteras till (-1, 0)

Standardmatrisen blir då:

A = [[0, -1], [1, 0]]

Kärna (Kernel) och Bild (Image)

Kopplat till varje linjär avbildning T: Rⁿ → Rᵐ med matrisen A finns två viktiga delrum:

1. Kärnan (Kernel / Nollrum)

Kärnan för T, skriven ker(T) eller Null(A), bestå av alla vektorer x i domänen Rⁿ som avbildas på nollvektorn:

ker(T) = \ x ext i Rⁿ : T(x) = 0 \

För att hitta kärnan löser vi det homogena ekvationssystemet A × x = 0.

2. Bilden (Image / Kolonnrum)

Bilden av T, skriven im(T) eller Col(A), består av alla vektorer y i målmängden Rᵐ som faktiskt kan träffas av avbildningen:

im(T) = \ y ext i Rᵐ : y = T(x) ext för något x ext i Rⁿ \

Bilden spänns upp av kolumnvektorerna i matrisen A.

Dimensionssatsen (Rank-Nullity Theorem)

En av de viktigaste satserna inom linjär algebra är dimensionssatsen. Den kopplar samman dimensionen hos domänen med dimensionerna hos kärnan och bilden.

För en linjär avbildning T: Rⁿ → Rᵐ med m × n-matrisen A gäller:

extdim( extker(T)) + extdim( extim(T)) = n

Med matristerminologi uttrycks detta som:

extnullitet(A) + extrang(A) = extantal kolumner i A

Vad betyder detta i praktiken?

• n är det totala antalet variabler (kolumner i A).
• extrang(A) är antalet pivotkolumner (dimensionen på bilden).
• extnullitet(A) är antalet fria variabler (dimensionen på kärnan).

Varje kolumn i matrisen bidrar antingen med en ny dimension i bilden (pivotkolumn) eller med en ny frihetsgrad i kärnan (fri variabel). Ingen information 'försvinner' utanför dessa två delrum.