Egenvärden och egenvektorer

Efter denna lektion kommer du att kunna beräkna egenvärden och egenvektorer för kvadratiska matriser samt förstå deras geometriska och algebraiska innebörd.

Vad är egenvärden och egenvektorer?

När en kvadratisk matris A multipliceras med en vektor x, ändrar vektorn i allmänhet både sin längd och sin riktning. Det finns dock särskilt intressanta vektorer som inte ändrar sin riktning – de blir endast skalförändrade (förlängda, förkortade eller speglade).

Dessa speciella vektorer kallas egenvektorer, och skalfaktorn kallas för det tillhörande egenvärdet.

Formellt definieras begreppen enligt följande: Om A är en n×n-matris, kallas en nollskild vektor v för en egenvektor till A om det finns ett tal (skalär) λ sådant att:

A · v = λ · v

Här är:

• A: en kvadratisk matris av storlek n×n
• v: en egenvektor (måste vara skild från nollvektorn)
• λ (lambda): det egenvärde som hör till egenvektorn v

Om λ > 0 behåller vektorn sin riktning men ändrar längd. Om λ < 0 vänds vektorn i motsatt riktning. Om λ = 0 avbildas vektorn på nollvektorn.

Den karakteristiska ekvationen

För att finna egenvärdena till en matris A omformulerar vi ekvationen A · v = λ · v:

A · v − λ · I · v = 0

(A − λ · I) · v = 0

där I är enhetsmatrisen av samma storlek som A.

Eftersom egenvektorn v per definition inte får vara nollvektorn, måste detta homogena ekvationssystem ha icke-triviala (nollskilda) lösningar. Det inträffar om och endast om matrisen (A − λ·I) inte är inverterbar, vilket innebär att dess determinant är noll:

det(A − λ · I) = 0

Detta kallas den karakteristiska ekvationen för matrisen A. Uttrycket det(A − λ·I) är ett polynom i λ av grad n, som kallas det karakteristiska polynomet.

Exempel:

Låt A = [[4, 1], [2, 3]]. Vi ställer upp det karakteristiska polynomet:

det(A − λI) = det([[4−λ, 1], [2, 3−λ]])

= (4 − λ)(3 − λ) − (1 × 2)

= λ² − 7λ + 12 − 2

= λ² − 7λ + 10

Vi sätter polynomet till 0:

λ² − 7λ + 10 = 0 ⇒ (λ − 5)(λ − 2) = 0

Matrisen har alltså två egenvärden: λ₁ = 5 och λ₂ = 2.

Beräkning av egenvektorer och egenrum

När vi har hittat egenvärdena λ beräknar vi motsvarande egenvektorer genom att sätta in varje λ i det homogena ekvationssystemet:

(A − λ · I) · v = 0

Mängden av alla lösningar v till detta system (inklusive nollvektorn) bildar ett nollrum, kallas egenrummet för det specifika egenvärdet λ, betecknat E_λ.

Exempel (fortsättning):

För matrisen A = [[4, 1], [2, 3]] hittade vi egenvärdena λ₁ = 5 och λ₂ = 2.

1. För λ₁ = 5:

(A − 5I)v = 0 ⇒ [[4−5, 1], [2, 3−5]] [[x], [y]] = [^[0], ^[0]]

[[-1, 1], [2, -2]] [[x], [y]] = [^[0], ^[0]]

Båda raderna ger ekvationen −x + y = 0, vilket ger y = x.

Egenvektorerna för λ₁ = 5 är alla vektorer på formen t · (1, 1)ᵀ där t ≠ 0.

Egenrummet E₅ täcks av basvektorn (1, 1)ᵀ.

2. För λ₂ = 2:

(A − 2I)v = 0 ⇒ [[2, 1], [2, 1]] [[x], [y]] = [^[0], ^[0]]

Detta ger ekvationen 2x + y = 0, vilket innebär y = −2x.

Egenvektorerna för λ₂ = 2 är alla vektorer på formen t · (1, -2)ᵀ där t ≠ 0.

Viktiga egenskaper hos egenvärden

Det finns flera användbara samband mellan en matris egenskaper och dess egenvärden. Låt A vara en n×n-matris med egenvärdena λ₁, λ₂, ..., λₙ (räknade med multiplicitet):

1. Spår (Trace): Summan av matrisens diagonalelement kallas matrisens spår, tr(A). Summan av alla egenvärden är alltid lika med spåret:

tr(A) = λ₁ + λ₂ + ... + λₙ

2. Determinant: Produkten av alla egenvärden är alltid lika med matrisens determinant:

det(A) = λ₁ × λ₂ × ... × λₙ

3. Inverterbarhet: En matris A är inverterbar om och endast om inget av dess egenvärden är noll (det(A) ≠ 0).

4. Triangulära matriser: Om A är en över- eller undertriangulär matris (eller en diagonalmatris), är egenvärdena helt enkelt elementen på huvuddiagonalen.

Dessa egenskaper ger utmärkta snabbkontroller när du har beräknat egenvärden för en matris!