Generella vektorrum och underrum

Efter denna lektion kommer du att förstå den abstrakta definitionen av ett vektorrum och kunna avgöra om en given delmängd utgör ett underrum genom att pröva slutenhetskriterierna.

Introduktion till abstrakta vektorrum

I grundläggande geometri tänker vi oss ofta en vektor som en pil med längd och riktning i planet eller rummet. Inom linjär algebra generaliserar vi detta begrepp.

Ett vektorrum V över de reella talen är en mängd av objekt (som vi kallar *vektorer*) tillsammans med två operationer: vektoraddition och skalärmultiplikation. För att mängden V ska få kallas ett vektorrum måste dessa operationer uppfylla 10 axiomer. Några av de viktigaste axiomen innebär att:

1. Vektorsumman av två element i V ligger också i V (slutenhet under addition).

2. Skalärmultiplikationen av ett element i V med ett reellt tal c ligger också i V (slutenhet under skalärmultiplikation).

3. Det finns en unikt definierad nollvektor 0 i V sådan att v + 0 = v för alla v i V.

4. Varje element v har en additiv invers -v så att v + (-v) = 0.

5. Additionen är kommutativ (u + v = v + u) och associativ.

Det kraftfulla med denna abstrakta definition är att vektorer inte bara är listor av tal som (x, y, z). Polynom, matriser och kontinuerliga funktioner kan också bilda vektorrum!

Vad är ett underrum?

Ofta undersöker vi delmängder av ett känt vektorrum. Ett underrum (eller delrum) W till ett vektorrum V är en delmängd som i sig själv bildar ett vektorrum med samma operationer som i V.

Att kontrollera alla 10 axiom varje gång är tidsödande. Lyckligtvis räcker det att kontrollera tre kriterier för att avgöra om en icke-tom delmängd W är ett underrum:

1. Nollvektorn ingår: Nollvektorn 0 i V måste ligga i W.

2. Slutenhet under addition: Om u och v ligger i W, så måste även u + v ligga i W.

3. Slutenhet under skalärmultiplikation: Om u ligger i W och c är en godtycklig skalär (reellt tal), så måste c × u ligga i W.

Om något av dessa tre kriterier spricker är W *inte* ett underrum. Ett klassiskt exempel i R² är en rak linje. Går linjen genom origo är den ett underrum. Går den inte genom origo är den inte ett underrum (eftersom nollvektorn saknas).

Underrum i matris- och polynomrum

Underrumsbegreppet gäller inte bara geometriska rum som R² och R³, utan för alla vektorrum.

Exempel 1: Symmetriska matriser

Låt V vara vektorrummet av alla 2×2-matriser. Låt W vara mängden av alla *symmetriska* 2×2-matriser (dvs matriser där A^T = A). Är W ett underrum?

1. Nollmatrisen O har O^T = O, så nollvektorn ingår i W.

2. Om A och B är symmetriska är (A + B)^T = A^T + B^T = A + B, så A + B är symmetrisk (sluten under addition).

3. (c × A)^T = c × A^T = c × A, så c × A är symmetrisk (sluten under skalärmultiplikation).

Slutsats: De symmetriska matriserna utgör ett underrum!

Exempel 2: Polynom av viss grad

Mängden av alla polynom av grad *exakt* 2 bildar *inte* ett underrum, eftersom nollpolynomet (som har grad 0 eller saknar grad) inte ingår, och t.ex. (x² + 2x) + (-x²) = 2x som har grad 1. Däremot bildar polynom av grad *högst* n ett underrum.

Spännvidd (Span) skapar alltid underrum

Ett av de mest kraftfulla sätten att skapa underrum är med hjälp av begreppet spännvidd (eng. *span*).

Om v1, v2, ..., vk är vektorer i ett vektorrum V, kallas mängden av alla deras linjärkombinationer för spännvidden av vektorerna:

Span(v1, ..., vk) = { c1 × v1 + c2 × v2 + ... + ck × vk : c1, c2, ..., ck är skalärer }

Viktig sats: Spännvidden av en godtycklig mängd vektorer i V är ALLTID ett underrum till V.

Varför? Vi prövar de tre kriterierna:

1. Nollvektorn: Välj alla c_i = 0, då får vi 0 × v1 + ... + 0 × vk = 0.

2. Addition: Summan av två linjärkombinationer av v1,...,vk ger en ny linjärkombination av samma vektorer.

3. Skalärmultiplikation: Att multiplicera en linjärkombination med en skalär c ger en ny linjärkombination.

Detta ger en fantastisk genväg: om du vill visa att en delmängd W är ett underrum räcker det ofta med att visa att W kan skrivas som Span(v1, ..., vk) för några vektorer!