Bas, dimension och koordinat transformation

Efter lektionen kommer du att kunna bestämma baser för vektorrum, förstå dimensionsbegreppet och uttrycka vektorer i olika baser med hjälp av koordinatvektorer och basbytesmatriser.

Vad är en bas för ett vektorrum?

Inom linjär algebra är en bas en uppsättning vektorer som fungerar som ett koordinatsystem för ett vektorrum. För att en mängd vektorer B = {v1, v2, ..., vn} i ett vektorrum V ska utgöra en bas krävs att två villkor är uppfyllda:

1. Linjärt oberoende: Ingen av vektorerna i B kan skrivas som en linjärkombination av de övriga. Det finns inga icke-triviala lösningar till c1·v1 + c2·v2 + ... + cn·vn = 0.

2. Spänner upp rummet (Span): Varje vektor v i rummet V kan uttryckas som en linjärkombination av vektorerna i B. Det vill säga, det finns skalärer c1, c2, ..., cn så att v = c1·v1 + c2·v2 + ... + cn·vn.

När båda dessa villkor gäller har varje vektor i V en helt entydig framställning i basen B. Skalärerna (c1, c2, ..., cn) kallas då för vektorernas *koordinater* i basen B.

Det mest välkända exemplet är standardbasen i R². Den består av vektorerna e1 = (1, 0) och e2 = (0, 1). Vilken vektor som helst (x, y) i R² kan skrivas som x·e1 + y·e2. Men vi kan välja helt andra baser för R², till exempel v1 = (1, 1) och v2 = (1, -1). Så länge två vektorer i R² inte är parallella utgör de en giltig bas för R².

Dimension och underrum

Begreppet dimension för ett vektorrum V anger antalet vektorer i en bas för V. Ett mycket viktigt teorem i linjär algebra slår fast att *alla baser för samma vektorrum innehåller exakt lika många vektorer*. Om V har en bas med n vektorer säger vi att dim(V) = n.

Exempel på dimensioner för kända rum:

• dim(Rⁿ) = n (standardbasen har n vektorer)
• dim(Pₙ) = n + 1 (rummet av polynom av grad högst n, med basen {1, x, x², ..., xⁿ})
• dim(M₂ₓ₂) = 4 (rummet av 2×2-matriser)

Dimension för matrisers underrum:

När vi arbetar med en m×n-matris A är tre underrum särskilt intressanta:

1. Kolonnrummet, Col(A): Underrummet som spänns upp av A:s kolumner. Dess dimension kallas matrisens rang (rank(A)) och är lika med antalet pivotkolumner.

2. Nollrummet, Null(A): Mängden av alla lösningar till Ax = 0. Dess dimension kallas nullitet och motsvarar antalet fria variabler.

3. Dimensionssatsen (Rank-Nullity Theorem): För en m×n-matris A gäller alltid:

rank(A) + dim(Null(A)) = n (där n är antalet kolumner i A).

Koordinatvektorer

När vi har valt en bas B = {b1, b2, ..., bn} för ett vektorrum V kan varje vektor v i V entydigt skrivas som:

v = c1·b1 + c2·b2 + ... + cn·bn

De reella talen c1, c2, ..., cn kallas för vektorns koordinater relativt basen B. Vi samlar dessa i en spaltvektor som kallas för koordinatvektorn för v relativt B, och den betecknas [v]_B:

[v]_B = [c1, c2, ..., cn]ᵀ

Om vi arbetar i Rⁿ och basvektorerna samlas som kolumner i en matris P_B = [b1 b2 ... bn], så kan relationen mellan vektorns standardkoordinater v och dess koordinatvektor [v]_B skrivas som ett matris-vektor-rum:

v = P_B · [v]_B

För att hitta [v]_B från v löser vi helt enkelt det linjära ekvationssystemet P_B · [v]_B = v, eller om P_B är inverterbar:

[v]_B = P_B⁻¹ · v

Exempel: Låt B = {b1, b2} där b1 = (1, 2) och b2 = (3, 1). Om en vektor har koordinatvektorn [v]_B = [2, -1]ᵀ, är själva vektorn i standardkoordinater:

v = 2·(1, 2) + (-1)·(3, 1) = (2 - 3, 4 - 1) = (-1, 3).

Basbytesmatrisen (Koordinattransformation)

Ofta behöver vi byta från en bas B = {b1, b2, ..., bn} till en annan bas C = {c1, c2, ..., cn} i samma vektorrum. För att kunna översätta koordinater från bas B till bas C direkt använder vi en basbytesmatris, betecknad P_(C ← B).

Formeln för att transformera koordinater lyder:

[x]_C = P_(C ← B) · [x]_B

Hur konstrueras P_(C ← B)?

Kolumnerna i basbytesmatrisen är koordinatvektorerna för de gamla basvektorerna (från B) uttryckta i den nya basen (C):

P_(C ← B) = [ [b1]_C [b2]_C ... [bn]_C ]

För att beräkna denna matris i praktiken ställer vi upp en utökad matris med bas C till vänster och bas B till höger, och radreducerar tills vänstersidan blir identitetsmatrisen:

[ C | B ] --> [ I | P_(C ← B) ]

Detta verktyg är centralt i linjär algebra eftersom det tillåter oss att byta perspektiv till en bas där beräkningar eller fysikaliska egenskaper blir mycket enklare (t.ex. vid diagonalisering av matriser).