Sannolikhetslära och betingad sannolikhet

Efter denna lektion kommer du att behärska grundläggande sannolikhetsberäkningar, förstå skillnaden mellan oberoende och betingade händelser, samt kunna tillämpa lagen om total sannolikhet och Bayes sats på verkliga problem.

Utfallsrum och händelser

Inom sannolikhetsläran studerar vi slumpmässiga försök. Det fundamentala begreppet är utfallsrummet, som betecknas S (eller Ω) och utgör mängden av alla möjliga resultat (utfall) av ett försök.

En händelse A är en delmängd av utfallsrummet. Om alla utfall i utfallsrummet är lika sannolika beräknas sannolikheten för händelsen A som:

P(A) = Antal gynnsamma utfall / Totalt antal utfall = n(A) / n(S)

Grundläggande räkneregler

1. Komplementhändelse: Sannolikheten att A inte inträffar är P(A') = 1 − P(A).

2. Additionsformeln: Sannolikheten att A eller B (eller båda) inträffar beräknas som:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

Om händelserna A och B är disjunkta (dvs. de kan inte inträffa samtidigt, P(A ∩ B) = 0), förenklas additionsformeln till P(A ∪ B) = P(A) + P(B).

Betingad sannolikhet och oberoende

Ofta har vi information om att en viss händelse redan har inträffat. Det ändrar utfallsrummet och därmed sannolikheterna. Detta kallas betingad sannolikhet.

Sannolikheten för händelsen A, givet att händelsen B har inträffat, betecknas P(A|B) och definieras som:

P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B), förutsatt att P(B) > 0

Intuitivt innebär detta att vi reducerar utfallsrummet till enbart B och undersöker hur stor del av B som utgörs av A.

Oberoende händelser

Två händelser A och B kallas oberoende om kunskap om att B har inträffat inte påverkar sannolikheten för A. Formellt gäller:

P(A|B) = P(A)

Detta ger den viktiga multiplikationsprincipen för oberoende händelser:

P(A ∩ B) = P(A) × P(B)

Lagen om total sannolikhet

Ibland inträffar en händelse A under olika betingelser eller scenarier. Om vi kan dela upp hela utfallsrummet i oöverlappande (disjunkta) delar B1, B2, ..., Bn som tillsammans täcker hela utfallsrummet, kan vi beräkna den totala sannolikheten för A genom att summera sannolikheterna från varje scenario.

Formel för lagen om total sannolikhet

P(A) = Σ P(A|Bi) × P(Bi)

För fallet med två scenarier (B och dess komplement B') blir formeln:

P(A) = P(A|B) × P(B) + P(A|B') × P(B')

Detta kallas ofta för att väga de betingade sannolikheterna med avseende på scenariernas grundsannolikheter. Metoden illustreras bäst med hjälp av träddiagram.

Bayes sats

Bayes sats är ett av de viktigaste verktygen inom statistik och datavetenskap. Satsen gör det möjligt att revidera vår uppfattning om sannolikheten för en hypotes (eller händelse B) när vi har observerat nya data eller ett utfall (händelse A).

Bayes formel

P(B|A) = (P(A|B) × P(B)) / P(A)

Om vi sätter in lagen om total sannolikhet i nämnaren får vi den utvidgade formen:

P(B|A) = (P(A|B) × P(B)) / [P(A|B) × P(B) + P(A|B') × P(B')]

Begrepp i Bayes sats

• Prior-sannolikhet P(B): Den ursprungliga sannolikheten för händelse B innan ny information har erhållits.
• Likelihood P(A|B): Sannolikheten att observera data A givet att B är sann.
• Posterior-sannolikhet P(B|A): Den uppdaterade sannolikheten för B efter att A har observerats.