Vektorer, skalärprodukt och ortogonalitet

Efter denna lektion kommer du att kunna beräkna skalärprodukt och norm i ℝⁿ, avgöra om två vektorer är ortogonala samt beräkna den ortogonala projektionen av en vektor på en annan.

Vektorer i ℝⁿ och skalärprodukten

En vektor i det n-dimensionella rummet ℝⁿ skrivs som en ordnad lista av n reella tal: u = (u₁, u₂, ..., uₙ). Vektorer kan adderas komponentvis och multipliceras med skalärer (reella tal).

En av de mest grundläggande operationerna mellan två vektorer u och v i samma dimension n är skalärprodukten (ibland kallad dot product). Skalärprodukten beräknas genom att multiplicera motsvarande komponenter med varandra och addera resultaten:

u · v = u₁v₁ + u₂v₂ + ... + uₙvₙ

Observera att resultatet av en skalärprodukt inte är en ny vektor, utan ett enskilt reellt tal (en skalär).

Exempel

Låt u = (2, -1, 4) och v = (3, 0, -2) vara två vektorer i ℝ³.

Skalärprodukten beräknas då som:

u · v = (2 × 3) + ((-1) × 0) + (4 × (-2)) = 6 + 0 - 8 = -2

Viktiga egenskaper för skalärprodukten

1. Kommutativitet: u · v = v · u

2. Distributivitet: u · (v + w) = u · v + u · w

3. Skalärmultiplikation: c(u · v) = (cu) · v = u · (cv) för varje reellt tal c

4. Positiv definitet: u · u ≥ 0, och u · u = 0 om och endast om u = 0.

Norm, längd och avstånd

Skalärprodukten ger oss möjlighet att definiera geometriska begrepp som längd och avstånd i högre dimensioner.

Normen (vektorns längd)

Normen av en vektor u, betecknad ||u||, definieras som kvadratroten ur skalärprodukten av vektorn med sig själv:

||u|| = √(u · u) = √(u₁² + u₂² + ... + uₙ²)

En vektor med normen 1 kallas för en enhetsvektor. Varje vektor u (som inte är nollvektorn) kan normeras till en enhetsvektor û i samma riktning genom att dividera med dess norm: û = u / ||u||.

Avstånd mellan vektorer

Avståndet d(u, v) mellan två vektorer u och v motsvarar normen av deras differens:

d(u, v) = ||u - v|| = √((u₁ - v₁)² + (u₂ - v₂)² + ... + (u♙ - v♙)²)

Exempel

Låt u = (3, -4). Normen av u är:

||u|| = √(3² + (-4)²) = √(9 + 16) = √25 = 5.

Enhetsvektorn i samma riktning blir û = (3/5, -4/5).

Cauchy-Schwarz olikhet

För alla vektorer u och v i ℝⁿ gäller den fundamentala olikheten:

|u · v| ≤ ||u|| × ||v||

Detta garanterar att kvoten (u · v) / (||u|| ||v||) alltid ligger i intervallet [-1, 1], vilket gör att vi kan definiera vinkeln mellan två vektorer.

Ortogonalitet och vinklar

Geometriskt i ℝ² och ℝ³ vet vi att skalärprodukten uppfyller relationen:

u · v = ||u|| ||v|| cos(θ)

där θ är vinkeln mellan vektorerna (0 ≤ θ ≤ π). I allmänna vektorrum ℝⁿ använder vi denna formel för att definiera vinkeln θ mellan två icke-nollvektorer:

cos(θ) = (u · v) / (||u|| ||v||)

Ortogonalitet (Vinkelräthet)

Två vektorer u och v kallas ortogonala (vinkelräta) om deras skalärprodukt är noll:

u ⊥ v ⇔ u · v = 0

Observera att nollvektorn är ortogonal mot alla vektorer, eftersom 0 · v = 0 för alla v.

Pytagoras sats i ℝⁿ

Två vektorer u och v är ortogonala om och endast om:

||u + v||² = ||u||² + ||v||²

Detta är den generella formen av Pytagoras sats i n-dimensionella rum. Om u · v = 0 får vi nemligen:

||u + v||² = (u + v) · (u + v) = u · u + 2(u · v) + v · v = ||u||² + 0 + ||v||² = ||u||² + ||v||².

Ortogonal projektion

En mycket viktig tillämpning av skalärprodukt och ortogonalitet är att uppdela en vektor u i två ortogonala komponenter i förhållande till en annan vektor v (där v ≠ 0).

Vi vill skriva:

u = p + w

där:

• p är parallell med v (kallas den ortogonala projektionen av u på v, betecknas proj_v(u)).
• w är ortogonal mot v.

Formel för projektion

Eftersom p är parallell med v kan vi skriva p = c × v för något reellt tal c. Eftersom w = u - c × v ska vara ortogonal mot v måste:

(u - c × v) · v = 0 ⇒ u · v - c(v · v) = 0 ⇒ c = (u · v) / ||v||²

Detta ger formeln för den ortogonala projektionen:

proj_v(u) = ((u · v) / ||v||²) × v

Komponenten w som är ortogonal mot v kallas ibland för det ortogonala komplementet eller avvikelsen:

w = u - proj_v(u)

Exempel

Låt u = (4, 3) och v = (2, 0).

• u · v = 4 × 2 + 3 × 0 = 8
• ||v||² = 2² + 0² = 4
• proj_v(u) = (8 / 4) × (2, 0) = 2 × (2, 0) = (4, 0)
• w = (4, 3) - (4, 0) = (0, 3)

Observera att w · v = (0, 3) · (2, 0) = 0, vilket bekräftar att w är ortogonal mot v.