Taylorpolynom och resttermer

Efter denna lektionen kommer du att kunna approximera släta funktioner med Taylor- och Maclaurinpolynomer, beräkna felgränser med Lagranges restterm samt använda ordo-notation för att effektivt beräkna gränsvärden.

Intuitiv idé och Maclaurinpolynom

Många funktioner, såsom e^x, sin(x) och ln(1+x), kan vara svåra att beräkna exakt för hand. Idén bakom polynomapproximation är att ersätta en komplicerad funktion med ett polynom, eftersom polynom är enkla att derivera, integrera och beräkna värden för.

Om vi vill approximera en funktion f(x) nära punkten x = 0 med ett polynom P_n(x) av grad n, vill vi att polynomet och funktionen ska stämma överens så mycket som möjligt i origo. Det innebär att vi kräver att funktionen och polynomet har samma funktionsvärde, samma förstaderivata, samma andraderivata och så vidare upp till n-te derivatan i x = 0:

P_n(0) = f(0), P_n'(0) = f'(0), P_n''(0) = f''(0), ..., P_n^{(n)}(0) = f^{(n)}(0)

Om vi ställer upp ett allmänt polynom P_n(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x² + ... + a_n xⁿ och deriverar det upprepade gånger, ser vi att k-te derivatan i x = 0 blir k! × a_k. Genom att sätta detta lika med f^{(k)}(0) får vi koefficienterna a_k = f^{(k)}(0) / k!.

Detta ger oss formeln för Maclaurinpolynomet av grad n:

P_n(x) = f(0) + f'(0)x + (f''(0)/2!)x² + (f'''(0)/3!)x³ + ... + (f^{(n)}(0)/n!)xⁿ

När x är mycket nära 0 är de högre potenserna av x ytterst små. Därför ger de första få termerna ofta en mycket god approximation av funktionen i origos närhet.

Taylorpolynom kring en allmän punkt och standardutvecklingar

Vad händer om vi vill approximera en funktion nära en annan punkt x = a än origo? Då förskjuter vi variabeln och bildar ett Taylorpolynom kring x = a:

P_n(x) = f(a) + f'(a)(x − a) + (f''(a)/2!)(x − a)² + ... + (f^{(n)}(a)/n!)(x − a)ⁿ

Ett Maclaurinpolynom är alltså helt enkelt ett specialfall av Taylorpolynom där a = 0.

Inom analysen använder vi ofta färdiga standardutvecklingar kring x = 0. Här är de viktigaste Maclaurinpolynomen som du bör lära dig utantill:

1. e^x = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ... + xⁿ/n!

2. sin(x) = x − x³/3! + x⁵/5! − ... (endast udda potenser)

3. cos(x) = 1 − x²/2! + x⁴/4! − ... (endast jämna potenser)

4. ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − x⁴/4 + ... (för −1 < x ≤ 1)

5. (1 + x)^α = 1 + α x + α(α − 1)/2! x² + ... (binomialutveckling)

Genom att kombinera och variabelsubstituera i dessa standardutvecklingar kan vi snabbt hitta Taylorpolynom för mer komplicerade uttryck utan att behöva derivera funktionerna från grunden.

Restterm och Lagranges formel för feluppskattning

Ett polynom är oftast en approximation, vilket innebär att det finns ett fel när vi ersätter f(x) med P_n(x). Vi kan skriva f(x) som:

f(x) = P_n(x) + E_n(x)

där E_n(x) kallas för resttermen (eller felet). För att polynomet ska vara användbart i praktiken måste vi kunna kontrollera hur stort detta fel maximalt kan bli.

Joseph-Louis Lagrange visade att resttermen kan skrivas på en form som liknar nästa term i Taylorutvecklingen:

E_n(x) = (f^{(n+1)}(θ) / (n+1)!) · (x − a)^{n+1}

där θ (theta) är något okänt tal som ligger strikt mellan a och x.

Hur uppskattar vi felet i praktiken?

Eftersom vi inte vet exakt vad θ är, söker vi det största möjliga värdet på den (n+1)-te derivatan |f^{(n+1)}(c)| när c ligger i intervallet mellan a och x. Om vi hittar en övre begränsning M så att |f^{(n+1)}(c)| ≤ M på intervallet, kan vi garantera att:

|E_n(x)| ≤ (M / (n+1)!) · |x − a|^{n+1}

Detta ger oss en hård felgräns som visar exakt hur passförändrande och tillförlitlig vår approximation är på ett visst intervall.

Ordo-notation och gränsvärdesberäkningar

När vi beräknar gränsvärden behöver vi ofta inte hela Lagranges restterm med ett specifik θ, utan bara information om hur snabbt felet går mot 0 när x → 0. Till detta använder vi Ordo-notation (eller Big-O notation).

Vi skriver E_n(x) = O(x^{n+1}) när x → 0. Uttrycket O(x^k) uttalas 'ordo x upphöjt till k' och betyder 'en funktion som går mot noll minst lika snabbt som x^k när x närmar sig 0'.

Exempel på Maclaurinutvecklingar med Ordo-notation:

• e^x = 1 + x + x²/2 + O(x³)

• sin(x) = x − x³/6 + O(x⁵)

• cos(x) = 1 − x²/2 + O(x⁴)

Räkneregler för Ordo-termer (när x → 0):

1. O(x^a) + O(x^b) = O(x^(min(a,b)))

2. x^c · O(x^a) = O(x^(a+c))

3. Konstant · O(x^a) = O(x^a)

Gränsvärdesberäkning:

Anta att vi vill beräkna lim(x → 0) (sin(x) − x) / x³. Genom att ersätta sin(x) med dess Maclaurinpolynom får vi:

(x − x³/6 + O(x⁵) − x) / x³ = (−x³/6 + O(x⁵)) / x³ = −1/6 + O(x²)

När x → 0 går O(x²) mot 0, och gränsvärdet blir helt enkelt −1/6. Det var inte svårare än så!