Feluppskattning och numerisk approximation

Efter denna lektion kan du beräkna Taylorpolynom för numerisk approximation och göra strikta feluppskattningar med Lagrange restterm och alternerande serier, samt approximera svåra integraler med kontrollerad noggrannhet.

Lagranges restterm och feluppskattning

När vi approximerar en funktion f(x) kring en punkt x = a med ett Taylorpolynom P_n(x) av grad n, uppstår ett avvikelsefel. Vi skriver:

f(x) = P_n(x) + E_n(x)

där P_n(x) är Taylorpolynomet och E_n(x) är resttermen (felet). För att kunna lita på våra sifferkalkyler måste vi kunna sätta en övre gräns för hur stort |E_n(x)| kan bli.

Enligt Lagranges formel för resttermen gäller att det finns ett tal s strikt mellan a och x sådant att:

E_n(x) = f^(n+1)(s) × (x - a)^(n+1) / (n+1)!

Eftersom vi i praktiken inte vet exakt vad s är (förutom att s ligger mellan a och x), söker vi det maximala värdet som den (n+1)-te derivatan |f^(n+1)(s)| kan anta på intervallet mellan a och x. Låt M befinna sig så att |f^(n+1)(s)| ≤ M för alla s mellan a och x. Då får vi den strikta felskatten:

|E_n(x)| ≤ M × |x - a|^(n+1) / (n+1)!

Exempel: Om vi vill approximera f(x) = e^x kring a = 0 på intervallet [0, 0.5] med grad n = 2, blir f^(3)(s) = e^s. På intervallet [0, 0.5] är e^s växande och antar sitt största värde då s = 0.5. Eftersom e^(0.5) < 2, kan vi välja M = 2. Därmed blir felet för alla x i [0, 0.5]:

|E_2(x)| ≤ 2 × 0.5³ / 3! = 2 × 0.125 / 6 ≈ 0.0417.

Val av polynomsgrad för givet felgränsvärde

I praktiska tillämpningar ställs ofta kravet: *Bestäm den minsta polynomsgrad n som garanterar att felet är mindre än en viss tolerans ε (t.ex. ε = 10^(-4))*.

För att lösa detta utgår vi från feluppskattningen:

|E_n(x)| ≤ M × |x - a|^(n+1) / (n+1)! < ε

Metodiken följer dessa tre steg:

1. Identifiera M: Hitta en övre begränsning M för |f^(n+1)(s)| på intervallet mellan a och x. Ofta kan man nyttja att sin(s) och cos(s) har absolutbelopp ≤ 1, eller att e^s är växande.

2. Ställ upp olikheten: Sätt in det aktuella x-värdet och M i resttermsformeln och sätt uttrycket < ε.

3. Testa n-värden: Eftersom fakulteten (n+1)! växer extremt snabbt, provar man helt enkelt n = 1, 2, 3... tills olikheten är uppfylld.

Studera diagrammet nedan som visar hur felmarginalen sjunker dramatiskt för f(x) = e^x vid x = 0.5 när polynomsgraden n ökar.

Approximation av integraler med Taylorutveckling

Många viktig integraler, som exempelvis ∫ exp(-x²) dx eller ∫ sin(x²) dx, saknar elementära primitiver. Taylorutveckling är ett kraftfullt verktyg för att beräkna dessa numeriskt med kontrollerad noggrannhet.

Principen är enkel:

1. Taylorutveckla integrandens funktion f(x) kring en lämplig punkt (ofta a = 0).

2. Integrera polynomet term för term.

3. Integrera resttermen E_n(x) över samma intervall för att få en strikt övre gräns för det totala felet i integralberäkningen.

Om vi beräknar integralen I = ∫_0^b f(x) dx och approximerar f(x) ≈ P_n(x), blir integralens fel I_fel:

|I_fel| = |∫_0^b E_n(x) dx| ≤ ∫_0^b |E_n(x)| dx

Eftersom vi har en övre gräns |E_n(x)| ≤ M × x^(n+1) / (n+1)!, blir felgränsen för integralen:

|I_fel| ≤ ∫_0^b (M × x^(n+1) / (n+1)!) dx = M × b^(n+2) / ((n+2) × (n+1)!)

Alternerande serier och Leibniz feluppskattning

När vi Taylorutvecklar funktioner som cos(x), sin(x) eller ln(1+x) får vi ofta en alternerande serie där termerna växlar tecken och deras absolutbelopp minskar monoton mot noll.

För alternerande serier av typen S = S_0 - S_1 + S_2 - S_3 + ... gäller Leibniz felkriterium. Det säger att felet man gör när man avbryter serien vid en viss term är strikt mindre än absolutbeloppet av den *första utelämnade termen*!

|E_n(x)| ≤ |Nästa term i serien|

Detta innebär att vi ofta kan slippa beräkna högre derivator via Lagranges formel när serien uppfyller kraven för en alternerande serie.

Jämförelse:

• Lagranges formel: Generell, kräver beräkning av maximivärdet M för f^(n+1)(s).
• Leibniz kriterium: Mycketklart och enkelt, men kräver att serien uppfyller villkoren för alternerande serier.