Kedjeregeln och implicit derivering

Efter denna lektion kommer du att kunna derivera sammansatta funktioner med kedjeregeln, beräkna derivatan för implicit definierade kurvor och inverser, samt hantera komplicerade uttryck med logaritmsk derivering.

Kedjeregeln för sammansatta funktioner

En sammansatt funktion h(x) = f(g(x)) bildas genom att en inre funktion g(x) först appliceras på x, och en yttre funktion f(u) sedan appliceras på resultatet u = g(x).

Kedjeregeln anger hur vi deriverar sådana funktioner:

• h'(x) = f'(g(x)) · g'(x)

Med Leibniz notation skrivs detta ofta som:

• dy/dx = (dy/du) · (du/dx), där y = f(u) och u = g(x).

Exempel:

Derivera h(x) = (2x³ + 5)⁴.

1. Identifiera inre funktion: u = g(x) = 2x³ + 5. Derivata: g'(x) = 6x².

2. Identifiera yttre funktion: f(u) = u⁴. Derivata: f'(u) = 4u³.

3. Tillämpa kedjeregeln: h'(x) = f'(g(x)) · g'(x) = 4(2x³ + 5)³ · (6x²) = 24x²(2x³ + 5)³.

Regeln kan utökas till fler än två sammansatta funktioner genom att multiplicera derivatan för varje "lager" utifrån och in.

Implicit derivering

Ibland anges ett samband mellan x och y implicit genom en ekvation F(x, y) = 0, snarare än explicitt som y = f(x). Exempel på detta är cirkelns ekvation x² + y² = r².

För att finna derivatan dy/dx utan att behöva lösa ut y i explicitt form använder vi implicit derivering:

1. Derivera båda sidor av ekvationen med avseende på x.

2. Tänk på y som en okänd funktion y(x). Varje gång en term med y deriveras måste kedjeregeln användas, vilket ger en faktor y' (eller dy/dx).

3. Samla alla termer som innehåller y' på ena sidan och lösa ut y'.

Exempel:

Finn y' för cirkeln x² + y² = 25.

• Derivera båda sidor m.a.p. x: d/dx(x²) + d/dx(y²) = d/dx(25).
• d/dx(x²) = 2x.
• d/dx(y²) = 2y · y' (enligt kedjeregeln, eftersom y beror på x).
• d/dx(25) = 0.
• Detta ger ekvationen: 2x + 2y · y' = 0.
• Löser vi ut y' får vi: y' = -2x / (2y) = -x / y.

Derivatan av en invers funktion

Om f är en strängt monoton (och därmed inverterbar) funktion med invers f⁻¹, råder sambandet f(f⁻¹(x)) = x. Vi kan använda implicit derivering för att härleda formeln för inversens derivata.

Låt y = f⁻¹(x). Detta är ekvivalent med f(y) = x.

Deriverar vi båda sidor med avseende på x med kedjeregeln får vi:

• f'(y) · y' = 1
• y' = 1 / f'(y)
• (f⁻¹)'(x) = 1 / f'(f⁻¹(x))

Exempel (Derivatan av arctan x):

Låt y = arctan(x). Då är tan(y) = x för -π/2 < y < π/2.

Derivera m.a.p. x:

• (1 + tan²(y)) · y' = 1
• y' = 1 / (1 + tan²(y))

Eftersom tan(y) = x blir derivatan:

• d/dx (arctan x) = 1 / (1 + x²).

Logaritmsk derivering

När vi vill derivera uttryck där både basen och exponenten beror på x, t.ex. f(x) = x^x eller f(x) = (sin x)^(cos x), fungerar varken vanliga potensregeln (konstant exponent) eller exponentialregeln (konstant bas).

Lösningen kallas logaritmsk derivering och bygger på att nyttja den naturliga logaritmens egenskaper:

Metodens steg:

1. Sätt y = f(x).

2. Ta den naturliga logaritmen på båda sidor: ln(y) = ln(f(x)). Använd logaritmlagarna (t.ex. ln(a^b) = b · ln(a)) för att förenkla högerledet.

3. Derivera båda sidor implicit med avseende på x. Vänsterledet blir y'/y.

4. Multiplicera med y för att lösa ut y': y' = y · [högerledets derivata].

Exempel: Derivera y = x^x för x > 0.

• ln(y) = ln(x^x) = x · ln(x)
• Derivera m.a.p. x (produktregeln i högerledet):

y'/y = 1 · ln(x) + x · (1/x) = ln(x) + 1

• Multiplicera med y:

y' = y · (ln(x) + 1) = x^x · (ln(x) + 1).