Extremvärden och Medelvärdessatsen

Efter denna lektion kommer du att kunna identifiera och beräkna lokala och globala extremvärden för funktioner, samt förstå och tillämpa Rolles sats och differentialkalkylens medelvärdessats.

Lokala och globala extremvärden samt kritiska punkter

När vi analyserar en funktion f(x) på ett intervall vill vi ofta hitta dess högsta och lägsta punkter – dessa kallas extremvärden (maxima och minima).

En punkt kallas ett lokalt maximum om funktionens värde i punkten är större än eller lika med alla närliggande punkters värden. Motsvarande gäller för ett lokalt minimum. Ett globalt maximum (eller absolut maximum) är den punkt på hela intervallet där funktionen antar sitt allra största värde.

Enligt Weierstrass extremvärdessats har varje kontinuerlig funktion definierad på ett slutet och begränsat intervall [a, b] både ett globalt maximum och ett globalt minimum.

Var kan extremvärden uppstå? En kandidatpunkt kallas en kritisk punkt. Extremvärden kan endast förekomma i följande tre typer av punkter:

1. Stationära punkter: Punkter där derivatan är noll, det vill säga f'(x) = 0.

2. Singulära punkter: Punkter i funktionens definitionsmängd där derivatan f'(x) inte existerar (till exempel vassa hörn).

3. Ändpunkter: Intervallens gränspunkter (a och b för ett slutet intervall [a, b]).

För att hitta alla extremvärden för en kontinuerlig funktion på ett slutet intervall beräknar vi funktionsvärdet i samtliga dessa kandidatpunkter och jämför dem med varandra.

Monotoni och derivatans tecken

För att avgöra karaktären hos en stationär punkt (om det är ett lokalt max, lokalt min eller en terrasspunkt) studerar vi derivatans tecken runt punkten. Detta kallas förstaderivatetestet.

Sammanbandet mellan derivatan f'(x) och funktionens monotoni (om den är växande eller avtagande) ges av:

• Om f'(x) > 0 för alla x i ett intervall, så är f(x) strängt växande på intervallet.
• Om f'(x) < 0 för alla x i ett intervall, så är f(x) strängt avtagande på intervallet.
• Om f'(x) = 0 över ett helt intervall, så är f(x) konstant.

Teckentabell:

När vi har hittat alla kritiska punkter delar vi in tallinjen i delintervall och undersöker f'(x) i varje intervall:

• Om f'(x) byter tecken från + till − i en punkt c, har f(x) ett lokalt maximum i c.
• Om f'(x) byter tecken från − till + i en punkt c, har f(x) ett lokalt minimum i c.
• Om f'(x) har samma tecken på båda sidor om c (t.ex. + till +), är c en terrasspunkt.

Ett alternativ är andraderivatetestet: Om f'(c) = 0 och f''(c) < 0 är punkten ett lokalt max; om f''(c) > 0 är punkten ett lokalt min.

Rolles sats

Medelvärdessatsen bygger vidare på ett mycket fundamentalt resultat som kallas Rolles sats.

Satsens formulering:

Antag att en funktion f(x) uppfyller tre villkor:

1. f är kontinuerlig på det slutna intervallet [a, b].

2. f är deriverbar på det öppna intervallet (a, b).

3. f(a) = f(b) (funktionen har samma värde i båda ändpunkterna).

Då finns det minst en punkt c i intervallet (a, b) där f'(c) = 0.

Geometrisk tolkning:

Om en mjuk graf börjar och slutar på samma höjd på en sträcka, måste den någonstans längs vägen ha en helt horisontell tangent. Den måste antingen nå en topp, en dal, eller vara helt konstant.

Rolles sats är viktig inte bara för extremvärdesproblem, utan för att den utgör själva bevisbasen för analysens medelvärdessats.

Differentialkalkylens medelvärdessats (MVT)

Genom att "luta" Rolles sats får vi differentialkalkylens medelvärdessats (ofta förkortad MVT efter engelskans Mean Value Theorem).

Satsens formulering:

Om f är kontinuerlig på [a, b] och deriverbar på (a, b), så finns det minst en punkt c i (a, b) sådan att:

f'(c) = (f(b) − f(a)) / (b − a)

Geometrisk och fysikalisk tolkning:

• Geometriskt: Högerledet (f(b) − f(a)) / (b − a) är lutningen för sekanten (sekantlinjen) som binder samman ändpunkterna (a, f(a)) och (b, f(b)). Satsen säger att det finns minst en punkt c där tangentens lutning f'(c) är parallell med sekanten.
• Fysikaliskt: Om f(t) är positionen vid tiden t, är högerledet medelhastigheten under tidsintervallet. Satsen garanterar att det finns minst en tidpunkt c då momentanhastigheten f'(c) är exakt lika med medelhastigheten.

Medelvärdessatsen är ett kraftfullt verktyg för att uppskatta funktioners förändring och bevisa olikheter.