Annuiteter och perpetuiteter

Efter denna lektion kommer du att kunna beräkna och analysera nuvärdet av både ändliga betalningsströmmar (annuiteter) och oändliga betalningsströmmar (perpetuiteter och växande perpetuiteter) samt tillämpa dessa i finansiell värdering.

Introduktion till återkommande betalningsströmmar

Inom finansiell ekonomi räcker det sällan med att värdera enstaka framtida utbetalningar. Ofta möter vi serier av betalningar som återkommer regelbundet över tid — till exempel månatliga avbetalningar på ett lån, årliga utdelningar från en aktie eller pensionsutbetalningar.

Vi delar huvudsakligen in dessa återkommande betalningsströmmar i två kategorier:

1. Annuitet: En serie av lika stora betalningar som sker med jämna tidsintervall under en begränsad (ändlig) tidsperiod på *n* perioder. Exempel inkluderar annuitetslån, leasingsavtal och tidsbegränsade pensioner.

2. Perpetuitet: En serie betalningar som fortsätter i all framtid (oändlig horisont). Exempel kan vara eviga statsobligationer (så kallade *consols*), preferensaktier eller aktieutdelningar från mogna bolag.

Eftersom pengar har ett tidsvärde — en krona idag är värd mer än en krona imorgon på grund av ränta och avkastningskrav — måste alla framtida betalningar diskonteras tillbaka till dagens datum (nuvärde, PV). Ju längre fram i tiden en betalning ligger, desto lägre blir dess nuvärde idag.

Perpetuiteter: Eviga konstanta betalningar

En perpetuitet är den enklaste formen av en återkommande betalningsström. Den innebär att ett fast kassaflöde *C* utbetalas i slutet av varje period, i all framtid.

Om vi skulle addera alla diskonterade kassaflöden ett i taget skulle summan se ut så här:

PV = C / (1 + r) + C / (1 + r)² + C / (1 + r)³ + ... i all oändlighet.

Eftersom detta är en oändlig geometrisk serie kan formeln förenklas matematiskt till en extremt kompakt relation:

PV = C / r

där:

• PV = Nuvärde (Present Value)
• C = Kassaflöde per period (Cash flow)
• r = Diskonteringsränta / Avkastningskrav per period

Exempel:

Anta att en evig obligation ger 500 kr varje år för alltid. Om avkastningskravet på marknaden är 5 % (0,05), beräknas nuvärdet som:

PV = 500 / 0,05 = 10 000 kr.

Detta innebär att du borde vara villig att betala maximalt 10 000 kr idag för rätten att ta emot 500 kr om året i all framtid vid ett avkastningskrav på 5 %.

Växande perpetuiteter och Gordon-modellen

I verkligheten är kassaflöden sällan helt konstanta i all framtid. Företags utdelningar och vinster förväntas ofta växa i takt med att bolaget expanderar och inflationen ökar.

En växande perpetuitet tar hänsyn till att kassaflödet växer med en konstant årlig tillväxttakt *g* (growth rate) i all framtid. Denna modell kallas ofta för Gordon-modellen (*Gordon Growth Model*) och används flitigt vid aktievärdering.

Formeln för en växande perpetuitet lyder:

PV = C1 / (r - g)

där:

• C1 = Kassaflödet nästa period (C1 = C0 × (1 + g))
• r = Avkastningskravet
• g = Den konstanta tillväxttakten per period

Viktigt villkor: Avkastningskravet *r* måste alltid vara större än tillväxttakten *g* (r > g). Om tillväxten vore högre än avkastningskravet skulle formeln ge ett negativt eller oändligt värde, vilket är ekonomiskt orimligt.

Exempel:

Ett bolag förväntas betala en utdelning på 12 kr per aktie nästa år (C1 = 12). Utdelningen antas växa med 3 % per år i all framtid (g = 0,03). Ditt avkastningskrav är 8 % (r = 0,08).

Aktiens nuvärde blir:

PV = 12 / (0,08 - 0,03) = 12 / 0,05 = 240 kr.

Annuiteter: Ändliga betalningsströmmar

En annuitet är en sekvens av *n* stycken lika stora betalningar *C*. Till skillnad från perpetuiteten tar betalningarna slut efter *n* perioder.

För att beräkna nuvärdet av en annuitet kan vi tänka på det som skillnaden mellan två perpetuiteter: en som startar idag och en som startar efter period *n*. Detta ger oss den klassiska annuitetsformeln:

PV = C × [ (1 - (1 + r)^(-n)) / r ]

Uttrycket inom hakparenteserna kallas för annuitetsfaktorn (eller nuvärdesfaktorn för en annuitet). Den visar hur mycket en betalningsström på 1 kr per period under *n* perioder är värd idag vid räntan *r*.

Exempel:

Du ska få 20 000 kr per år i 5 år. Avkastningskravet är 4 % per år.

1. Räkna ut annuitetsfaktorn: [1 - (1 + 0,04)^(-5)] / 0,04 ≈ [1 - 0,8219] / 0,04 ≈ 4,4518

2. Beräkna nuvärdet: PV = 20 000 × 4,4518 = 89 036 kr.

Observera att summan av de faktiska utbetalningarna är 5 × 20 000 = 100 000 kr, men nuvärdet är lägre (89 036 kr) eftersom pengarna tas emot i framtiden.