Partialbråksuppdelning och rationella integraler

Efter denna lektion kommer du att kunna utföra partialbråksuppdelning av rationella funktioner och systematiskt beräkna rationella integraler med hjälp av polynomdivision, linjära och kvadratiska faktorer samt standardintegraler för ln och arctan.

1. Rationella funktioner och polynomdivision

En rationell funktion är en kvot av två polynom, f(x) = P(x) / Q(x). För att integrera en sådan funktion systematiskt måste vi först undersöka polynomens gradtal, det vill säga den högsta exponenten i P(x) och Q(x).

Om täljarens grad är större än eller lika med nämnarens grad, det vill säga grad(P) ≥ grad(Q), kallas den rationella funktionen för en oäkta rationell funktion. Det allra första steget är då alltid att utföra polynomdivision.

Genom polynomdivision kan vi skriva om uttrycket som:

P(x) / Q(x) = K(x) + R(x) / Q(x)

där K(x) är ett kvotpolynom och R(x) är ett restpolynom där grad(R) < grad(Q). Kvotpolynomet K(x) är enkelt att integrera term för term med vanliga potensregler. Det återstående bråket R(x) / Q(x) är nu en äkta rationell funktion, vilket är utgångspunkten för partialbråksuppdelning.

2. Partialbråksuppdelning med linjära faktorer

När vi har en äkta rationell funktion (där täljarens grad är mindre än nämnarens grad) är nästa steg att faktorisera nämnaren Q(x) så långt som möjligt i reella faktorer. Enligt algebrans fundamentalsats kan varje reellt polynom faktoriseras i linjära faktorer (x - a) och irreducibla kvadratiska faktorer (x² + ax + b).

Om nämnaren kan faktoriseras i olika (skilda) linjära faktorer ställer vi upp en ansats där varje faktor får en egen konstant i täljaren:

P(x) / ((x - a)(x - b)) = A / (x - a) + B / (x - b)

För att bestämma konstanterna A och B multiplicerar vi hela ekvationen med nämnaren och jämför koefficienter, eller sätter in lämpliga x-värden (t.ex. x = a och x = b).

När konstanterna är kända kan varje term enkelt integreras:

∫ 1 / (x - a) dx = ln|x - a| + C.

3. Kvadratiska faktorer och standardintegraler

Ibland har nämnaren faktoriserats så långt det går över de reella talen, men det återstår kvadratiska uttryck utan reella nollställen (irreducibla kvadratiska faktorer), såsom (x² + a²).

För en irreducibel kvadratisk faktor i nämnaren måste ansatsen i täljaren vara ett linjärt uttryck (Bx + C):

P(x) / ((x - r)(x² + a²)) = A / (x - r) + (Bx + C) / (x² + a²)

Vid integration av termen (Bx + C) / (x² + a²) delar vi upp den i två delar:

1. Bx / (x² + a²), som integreras med ln-funktionen: ∫ x / (x² + a²) dx = (1/2) · ln(x² + a²) + C.

2. C / (x² + a²), som integreras med arctan-funktionen: ∫ 1 / (x² + a²) dx = (1/a) · arctan(x/a) + C.

Dessa två standardintegraler är fundamentala byggstenar vid integration av rationella funktioner.

4. Ett fullständigt beräkningsexempel

Låt oss beräkna integralen I = ∫ (3x² + x - 2) / (x³ - x) dx.

Steg 1: Gradtalsjämförelse. Täljarens grad (2) är mindre än nämnarens grad (3). Ingen polynomdivision behövs.

Steg 2: Faktorisera nämnaren. x³ - x = x(x² - 1) = x(x - 1)(x + 1).

Steg 3: Partialbråksansats.

(3x² + x - 2) / (x(x - 1)(x + 1)) = A / x + B / (x - 1) + C / (x + 1)

Steg 4: Bestäm konstanterna. Multiplicera med nämnaren:

3x² + x - 2 = A(x - 1)(x + 1) + Bx(x + 1) + Cx(x - 1)

• Sätt x = 0: -2 = A(-1)(1) ⇒ A = 2
• Sätt x = 1: 3(1)² + 1 - 2 = B(1)(2) ⇒ 2 = 2B ⇒ B = 1
• Sätt x = -1: 3(-1)² + (-1) - 2 = C(-1)(-2) ⇒ 0 = 2C ⇒ C = 0

Steg 5: Integrera termvis:

I = ∫ (2/x + 1/(x - 1)) dx = 2 · ln|x| + ln|x - 1| + C.